已知数列{an}，如果数列{bn}满足b1＝a1，bn＝an＋an－1，n≥2，n∈N*，则称数列{bn}是数...

问题详情：

已知数列{an}，如果数列{bn}满足b1＝a1，bn＝an＋an－1，n≥2，n∈N*，则称数列{bn}是数列{an}的“生成数列”．

(1)若数列{an}的通项为an＝n，写出数列{an}的“生成数列”{bn}的通项公式；

(2)若数列{cn}的通项为cn＝2n＋b(其中b是常数)，试问数列{cn}的“生成数列”{qn}是否是等差数列，请说明理由；

(3)已知数列{dn}的通项为dn＝2n＋n，求数列{dn}的“生成数列”{pn}的前n项和Tn.

【回答】

解：(1)当n≥2时，bn＝an＋an－1＝2n－1，

当n＝1时，b1＝a1＝1适合上式，

∴bn＝2n－1(n∈N*)．

(2)qn＝

当b＝0时，qn＝4n－2，由于qn＋1－qn＝4，

所以此时数列{cn}的“生成数列”{qn}是等差数列．

当b≠0时，由于q1＝c1＝2＋b，q2＝6＋2b，

q3＝10＋2b，此时q2－q1≠q3－q2，

所以此时数列{cn}的“生成数列”{qn}不是等差数列．

(3)pn＝

当n>1时，Tn＝3＋(3·2＋3)＋(3·22＋5)＋…＋(3·2n－1＋2n－1)，

∴Tn＝3＋3(2＋22＋23＋…＋2n－1)＋(3＋5＋7＋…＋2n－1)＝3·2n＋n2－4.

又n＝1时，T1＝3，适合上式，∴Tn＝3·2n＋n2－4.

知识点：数列

题型：解答题