已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴交于点A，抛物线经过O、A两点。 （1）试用含a的代数式表...

问题详情：

已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴交于点A，抛物线经过O、A两点。

 （1）试用含a的代数式表示b；

（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；

（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

【回答】

（1）解法一：∵一次函数的图象与x轴交于点A

    ∴点A的坐标为（4，0）

    ∵抛物线经过O、A两点

 解法二：∵一次函数的图象与x轴交于点A

    ∴点A的坐标为（4，0）

    ∵抛物线经过O、A两点

    ∴抛物线的对称轴为直线

（2）解：由抛物线的对称*可知，DO＝DA

    ∴点O在⊙D上，且∠DOA＝∠DAO

    又由（1）知抛物线的解析式为

    ∴点D的坐标为（）

    ①当时，

    如图1，设⊙D被x轴分得的劣弧为，它沿x轴翻折后所得劣弧为，显然所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D'

    ∴点D'与点D也关于x轴对称

    ∵点O在⊙D'上，且⊙D与⊙D'相切

    ∴点O为切点        ∴D'O⊥OD

    ∴∠DOA＝∠D'OA＝45°

∴△ADO为等腰直角三角形      

∴点D的纵坐标为-2

    ∴抛物线的解析式为

    ②当时，

    同理可得：

    抛物线的解析式为

    综上，⊙D半径的长为，抛物线的解析式为或

（3）解答：抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得

    设点P的坐标为（x，y），且y＞0

①     当点P在抛物线上时（如图2）

    ∵点B是⊙D的优弧上的一点

    过点P作PE⊥x轴于点E

    由解得：（舍去）

    ∴点P的坐标为

    ②当点P在抛物线上时（如图3）

    同理可得，

    由解得：（舍去）

    ∴点P的坐标为

    综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为：

    或

知识点：二次函数单元测试

题型：综合题