如图,在平面直角坐标系中,直线与x轴交于点A,与y轴交点C,抛物线过A,C两点,与x轴交于另一点B.(1)求抛...
问题详情:
如图,在平面直角坐标系中,直线与x轴交于点A,与y轴交点C,抛物线过A,C两点,与x轴交于另一点B.
(1)求抛物线的解析式.
(2)在直线AC上方的抛物线上有一动点E,连接BE,与直线AC相交于点F,当时,求的值.
(3)点N是抛物线对称轴上一点,在(2)的条件下,若点E位于对称轴左侧,在抛物线上是否存在一点M,使以M,N,E,B为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
(1);(2)的值为或;(3)存在,M的坐标为或或.
【分析】
(1)先求出A、C两点坐标,再用待定系数法求解;
(2)如图,过点E作轴于点H,过点F作轴于点G,则易得△BFG∽△BEH,设点E的横坐标为t,则,利用相似三角形的*质可求出点F的坐标,再根据EH与FG的关系列出关于t的方程,解方程即可求出t的值,然后在Rt△EBH中即可求出的值;
(3)①当EB为平行四边形的边时,分两种情况:点M在对称轴右侧时,BN为对角线与点M在对称轴左侧时,BM为对角线,利用平移的*质即可求出结果;②当EB为平行四边形的对角线时,利用平行四边形对角线的*质和中点坐标公式求解即可.
【详解】
解:(1)在中,当时,当时,
∴、,
∵抛物线的图象经过A、C两点,
∴,
解得,
∴抛物线的解析式为;
(2)令,解得,,∴,
设点E的横坐标为t,则,
如图,过点E作轴于点H,过点F作轴于点G,则,∴△BFG∽△BEH,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴点F的横坐标为,
∴,
∴,
∴,
解得,,
当时,,
当时,,
∴,,
当点E的坐标为时,在中,,,
∴,
∴;
同理,当点E的坐标为时,,
∴的值为或;
(3)∵点N在对称轴上,∴,
∵点E位于对称轴左侧,∴.
①当EB为平行四边形的边时,分两种情况:
(Ⅰ)点M在对称轴右侧时,BN为对角线,
∵,,,,
∴,当时,,
∴;
(Ⅱ)点M在对称轴左侧时,BM为对角线,
∵,,,,
∴,
当时,,
∴;
②当EB为平行四边形的对角线时,
∵,,,
∴,
∴,
当时,,
∴;
综上所述,M的坐标为或或.
【点睛】
本题是二次函数综合题,考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与*质、一元二次方程的求解、锐角三角函数的知识、平行四边形的*质及其第四个顶点的确定问题,考查的知识点多、综合*强、难度较大,属于中考压轴题,熟练掌握待定系数法是解(1)题的关键;熟知函数图象上点的坐标特征、灵活应用相似三角形的*质和方程思想是解(2)题的关键;正确分类、不重不漏,灵活运用平行四边形的*质和平移的数学思想方法是解(3)题的关键.
知识点:实际问题与二次函数
题型:解答题