已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两...
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已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是________
【回答】
【详解】解法一：由题意可得，三角形ABC的面积为 
=1，
由于直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣
，0），
由直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，
故﹣
≤0，故点M在*线OA上．
设直线y=ax+b和BC的交点为N，则由
可得点N的坐标为（
，
）．
①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，故N（
，
），
把A、N两点的坐标代入直线y=ax+b，求得a=b=
．
②若点M在点O和点A之间，此时b＞
，点N在点B和点C之间，
由题意可得三角形NMB的面积等于，
即
=，即 
=
，可得a=
＞0，求得 b＜，
故有＜b＜．
③若点M在点A的左侧，则b＜
，由点M的横坐标﹣＜﹣1，求得b＞a．
设直线y=ax+b和AC的交点为P，则由 
求得点P的坐标为（
，
），
此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 •（1﹣b）•|xN﹣xP|=，
即（1﹣b）•|﹣
|=，化简可得2（1﹣b）2=|a2﹣1|．
由于此时 b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2=|a2﹣1|=1﹣a2 ．
两边开方可得 
（1﹣b）=
＜1，∴1﹣b＜
，化简可得 b＞1﹣
，
故有1﹣
＜b＜．
再把以上得到的三个b的范围取并集，可得b的取值范围应是 
，
解法二：当a=0时，直线y=ax+b（a＞0）平行于AB边，
由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得
=，b=1﹣，趋于最小．
由于a＞0，∴b＞1﹣
．
当a逐渐变大时，b也逐渐变大，
当b=时，直线经过点（0，），再根据直线平分△ABC的面积，故a不存在，故b＜．
综上可得，1﹣＜b＜，
故*为：
．
【点睛】本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考察运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．
知识点：直线与方程
题型：填空题
