如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（-9，10），AC∥x轴，...

问题详情：

如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（-9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；

（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

【回答】

(1) 抛物线的解析式为y=x2+2x+1，(2) 四边形AECP的面积的最大值是，点P（，﹣）；(3) Q（-4,1）或（3，1）.

【分析】

(1)把点A，B的坐标代入抛物线的解析式中，求b，c；(2)设P(m，m2−2m＋1)，根据S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC，把S四边形AECP用含m式子表示，根据二次函数的*质求解；(3)设Q(t，1)，分别求出点A，B，C，P的坐标，求出AB，BC，CA；用含t的式子表示出PQ，CQ，判断出∠BAC＝∠PCA＝45°，则要分两种情况讨论，根据相似三角形的对应边成比例求t.

【详解】

解：(1)将A(0，1)，B(-9，10)代入函数解析式得：

×81-9b＋c＝10，c＝1，解得b＝2，c＝1，

所以抛物线的解析式y＝x2+2x＋1；

(2)∵AC∥x轴，A(0，1)，

∴x2+2x＋1＝1，解得x1＝-6，x2＝0(舍)，即C点坐标为(-6，1)，

∵点A(0，1)，点B(-9，10)，

∴直线AB的解析式为y＝-x＋1，设P(m，m2+2m＋1)，∴E(m，-m＋1)，

∴PE＝-m＋1−(m2+2m＋1)＝−m2-3m.

∵AC⊥PE，AC＝6，

∴S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC＝AC⋅EF＋AC⋅PF

＝AC⋅(EF＋PF)＝AC⋅EP

＝×6(−m2-3m)＝−m2-9m.

∵-6<m<0，

∴当m＝时，四边形AECP的面积最大值是，此时P()；

(3)∵y＝x2+2x＋1＝(x+3)2−2，

P(-3，−2)，PF＝yF−yp＝3，CF＝xF−xC＝3，

∴PF＝CF，∴∠PCF＝45∘，

同理可得∠EAF＝45∘，∴∠PCF＝∠EAF，

∴在直线AC上存在满足条件的点Q，

设Q(t，1)且AB＝，AC＝6，CP＝，

∵以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，

①当△CPQ∽△ABC时，

CQ:AC＝CP:AB，(t+6):6＝，解得t＝-4，所以Q(-4，1)；

②当△CQP∽△ABC时，

CQ:AB＝CP:AC，(t+6)6，解得t＝3，所以Q(3，1).

综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，Q点的坐标为(-4，1)或(3，1).

【点睛】

本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的*质，平行于坐标轴的直线上两点间的距离是较大的坐标减较小的坐标；解（3）的关键是利用相似三角形的*质的出关于CQ的比例，要分类讨论，以防遗漏．

知识点：二次函数单元测试

题型：解答题