如图，已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0），C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为...

问题详情：

如图，已知二次函数 y＝ax2+bx﹣3a 经过点 A（﹣1，0），C（0，3），与 x 轴交于另一点 B，抛物线的顶点为 D．

（1）   求此二次函数解析式；

（2）   连接 DC、BC、DB，求*：△BCD 是直角三角形；

（3）   在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使得△PDC 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

解：（1）∵二次函数 y＝ax2+bx﹣3a 经过点 A（﹣1，0）、C（0，3），

∴根据题意，得           ， 解得 ，

∴抛物线的解析式为 y＝﹣x2+2x+3．

（2）由 y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4 得，D 点坐标为（1，4），

∴CD＝ ＝ ，

BC＝ ＝3 ，

BD＝ ＝2 ，

∵CD2+BC2＝（ ）2+（3 ）2＝20，BD2＝（2 ）2＝20，

∴CD2+BC2＝BD2，

∴△BCD 是直角三角形；

（3）   存在．

y＝﹣x2+2x+3 对称轴为直线 x＝1．

①若以 CD 为底边，则 P1D＝P1C，

设 P1 点坐标为（x，y），根据勾股定理可得 P1C2＝x2+（3﹣y）2，P1D2＝（x﹣1）2+（4﹣y）

2，

因此 x2+（3﹣y）2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2， 即 y＝4﹣x．

又 P1 点（x，y）在抛物线上，

∴4﹣x＝﹣x2+2x+3， 即 x2﹣3x+1＝0，

解得 x1＝                ，x2＝ ＜1，应舍去，

∴x＝      ，

∴y＝4﹣x＝      ，

即点 P1 坐标为（                     ，）．

②若以 CD 为一腰，

∵点 P2 在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称*知，点 P2 与点 C 关于直线 x＝1 对称， 此时点 P2 坐标为（2，3）．

∴符合条件的点 P 坐标为

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题