如图,抛物线y=ax2+x+c经过点A(﹣1,0)和点C(0,3)与x轴的另一交点为点B,点M是直线BC上一动...
问题详情:
如图,抛物线y=ax2+x+c经过点A(﹣1,0)和点C (0,3)与x轴的另一交点为点B,点M是直线BC上一动点,过点M作MP∥y轴,交抛物线于点P.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)在抛物线上是否存在一点Q,使得△QCO是等边三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)以M为圆心,MP为半径作⊙M,当⊙M与坐标轴相切时,求出⊙M的半径.
【回答】
解:(1)把点A(﹣1,0)和点C (0,3)代入y=ax2+x+c得:,
解得:,
∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+x+3;
(2)不存在,理由如下:
①当点Q在y轴右边时,如图1所示:
假设△QCO为等边三角形,
过点Q作QH⊥OC于H,
∵点C (0,3),
∴OC=3,
则OH=OC=,tan60°=,
∴QH=OH•tan60°=×=,
∴Q(,),
把x=代入y=﹣x2+x+3,
得:y=﹣≠,
∴假设不成立,
∴当点Q在y轴右边时,不存在△QCO为等边三角形;
②当点Q在y轴的左边时,如图2所示:
假设△QCO为等边三角形,
过点Q作QT⊥OC于T,
∵点C (0,3),
∴OC=3,
则OT=OC=,tan60°=,
∴QT=OT•tan60°=×=,
∴Q(﹣,),
把x=﹣代入y=﹣x2+x+3,
得:y=﹣﹣≠,
∴假设不成立,
∴当点Q在y轴左边时,不存在△QCO为等边三角形;
综上所述,在抛物线上不存在一点Q,使得△QCO是等边三角形;
(3)令﹣x2+x+3=0,
解得:x1=﹣1,x2=4,
∴B(4,0),
设BC直线的解析式为:y=kx+b,
把B、C的坐标代入则,
解得:,
∴BC直线的解析式为:y=﹣x+3,
当⊙M与x轴相切时,如图3所示:
延长PM交AB于点D,
则点D为⊙M与x轴的切点,即PM=MD,
设P(x,﹣x2+x+3),M(x,﹣x+3),
则PD=﹣x2+x+3,MD=﹣x+3,
∴(﹣x2+x+3)﹣(﹣x+3)=﹣x+3,
解得:x1=1,x2=4(不合题意舍去),
∴⊙M的半径为:MD=﹣+3=;
当⊙M与y轴相切时,如图4所示:
延长PM交AB于点D,过点M作ME⊥y轴于E,
则点E为⊙M与y轴的切点,即PM=ME,PD﹣MD=EM=x,
设P(x,﹣x2+x+3),M(x,﹣x+3),
则PD=﹣x2+x+3,MD=﹣x+3,
∴(﹣x2+x+3)﹣(﹣x+3)=x,
解得:x1=,x2=0(不合题意舍去),
∴⊙M的半径为:EM=;
综上所述,⊙M的半径为或.
【分析】(1)把点A(﹣1,0)和点C (0,3)代入y=ax2+x+c求出a与c的值即可得出抛物线的解析式;
(2)①当点Q在y轴右边时,假设△QCO为等边三角形,过点Q作QH⊥OC于H,OC=3,则OH=,tan60°=,求出Q(,),把x=代入y=﹣x2+x+3,得y=﹣≠,则假设不成立;
②当点Q在y轴的左边时,假设△QCO为等边三角形,过点Q作QT⊥OC于T,OC=3,则OT=,tan60°=,求出Q(﹣,),把x=﹣代入y=﹣x2+x+3,得y=﹣﹣≠,则假设不成立;
(3)求出B(4,0),待定系数法得出BC直线的解析式y=﹣x+3,当⊙M与x轴相切时,延长PM交AB于点D,则点D为⊙M与x轴的切点,即PM=MD,设P(x,﹣x2+x+3),M(x,﹣x+3),则PD=﹣x2+x+3,MD=﹣x+3,由PD﹣MD=MD,求出x=1,即可得出结果;当⊙M与y轴相切时,延长PM交AB于点D,过点M作ME⊥y轴于E,则点E为⊙M与y轴的切点,即PM=ME,PD﹣MD=EM=x,设P(x,﹣x2+x+3),M(x,﹣x+3),则PD=﹣x2+x+3,MD=﹣x+3,代入即可得出结果.
知识点:各地中考
题型:综合题