已知抛物线y=a(x﹣2)2+c经过点A(2,0)和C(0,),与x轴交于另一点B,顶点为D.(1)求抛物线的...
问题详情:
已知抛物线y=a(x﹣2)2+c经过点A(2,0)和C(0,),与x轴交于另一点B,顶点为D.
(1)求抛物线的解析式,并写出D点的坐标;
(2)如图,点E,F分别在线段AB,BD上(E点不与A,B重合),且∠DEF=∠A,则△DEF能否为等腰三角形?若能,求出BE的长;若不能,请说明理由;
(3)若点P在抛物线上,且=m,试确定满足条件的点P的个数.
【回答】
【解答】解:(1)由题意:,
解得,
∴抛物线的解析式为y=﹣(x﹣2)2+3,
∴顶点D坐标(2,3).
(2)可能.如图1,
∵A(﹣2,0),D(2,3),B(6,0),
∴AB=8,AD=BD=5,
①当DE=DF时,∠DFE=∠DEF=∠ABD,
∴EF∥AB,此时E与B重合,与条件矛盾,不成立.
②当DE=EF时,
又∵△BEF∽△AED,
∴△BEF≌△AED,
∴BE=AD=5
③当DF=EF时,∠EDF=∠DEF=∠DAB=∠DBA,
△FDE∽△DAB,
∴=,
∴==,
∵△AEF∽△BCE
∴==,
∴EB=AD=,
答:当BE的长为5或时,△CFE为等腰三角形.
(3)如图2中,连接BD,当点P在线段BD的右侧时,作DH⊥AB于H,连接PD,PH,PB.设P[n,﹣(n﹣2)2+3],
则S△PBD=S△PBH+S△PDH﹣S△BDH=×4×[﹣(n﹣2)2+3]+×3×(n﹣2)﹣×4×3=﹣(n﹣4)2+,
∵﹣<0,
∴n=4时,△PBD的面积的最大值为,
∵=m,
∴当点P在BD的右侧时,m的最大值==,
观察图象可知:当0<m<时,满足条件的点P的个数有4个,
当m=时,满足条件的点P的个数有3个,
当m>时,满足条件的点P的个数有2个(此时点P在BD的左侧).
知识点:各地中考
题型:综合题