如图,抛物线y=﹣x2+bx+2与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且点A的坐标为(1,0).(1)求抛物线...
问题详情:
如图,抛物线y=﹣x2+bx+2与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且点A的坐标为(1,0).
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)判断△ABC的形状,并*你的结论;
(3)点M是抛物线对称轴上的一个动点,当△ACM的周长最小时,求点M的坐标.
【回答】
(1)顶点D的坐标为(﹣,);(2)△ABC是直角三角形(3)当M的坐标为(﹣,)
【解析】
分析:(1)、将点A的坐标代入函数解析式求出b的值,然后将二次函数进行*从而得出顶点坐标;(2)、根据二次函数的解析式分别得出点A、B、C的坐标,然后分别求出AC、BC和AB的长度,然后根据勾股定理的逆定理得出*;(3)、由抛物线的*质可知,点A与点B关于对称轴对称,则BC与对称轴的交点就是点M,根据一次函数的交点求法得出点M的坐标.
详解:(1)、∵点A(1,0)在抛物线y=﹣x2+bx+2上,∴﹣+b+2=0,解得,b=﹣,
抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2,y=﹣x2﹣x+2=﹣(x+)2+,
则顶点D的坐标为(﹣,);
(2)、△ABC是直角三角形,
*:点C的坐标为(0,2),即OC=2, ﹣x2﹣x+2=0, 解得,x1=﹣4,x2=1,
则点B的坐标为(﹣4,0),即OB=4,OA=1,OB=4, ∴AB=5,
由勾股定理得,AC=,BC=2, AC2+BC2=25=AB2, ∴△ABC是直角三角形;
(3)、由抛物线的*质可知,点A与点B关于对称轴对称,
连接BC交对称轴于M,此时△ACM的周长最小, 设直线BC的解析式为:y=kx+b,
由题意得,, 解得,, 则直线BC的解析式为:y=x+2,
当x=﹣时,y=, ∴当M的坐标为(﹣,).
点睛:本题主要考查的是二次函数的*质以及一次函数的交点坐标,属于中等难度的题型.待定系数法求函数解析式是解决这个问题的关键.
知识点:二次函数的图象和*质
题型:解答题