已知,抛物线y=ax2+2ax+c与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,点A在点B左侧.点B的坐标为(1,0)...
问题详情:
已知,抛物线y=ax2+2ax+c与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,点A在点B左侧.点B的坐标为(1,0),OC=3OB.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当a>0时,如图所示,若点D是第三象限抛物线上方的动点,设点D的横坐标为m,三角形ADC的面积为S,求出S与m的函数关系式,并直接写出自变量m的取值范围;请问当m为何值时,S有最大值?最大值是多少.
【回答】
解:(1)∵点B的坐标为(1,0),OC=3OB,
∴点C的坐标为(0,3)或(0,﹣3),
将点B(1,0)、C(0,3)或(0,﹣3)代入y=ax2+2ax+c,
或,
解得:或,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3或y=x2+2x﹣3.
(2)过点D作DE⊥x轴,交AC于点E,如图所示.
∵a>1,
∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3,
∴点C的坐标为(0,﹣3).
当y=0时,有x2+2x﹣3=0,
解得:x1=﹣3,x2=1,
∴点A的坐标为(﹣3,0),
利用待定系数法可求出线段AC所在直线的解析式为y=﹣x﹣3.
∵点D的横坐标为m,
∴点D的坐标为(m,m2+2m﹣3),点E的坐标为(m,﹣m﹣3),
∴DE=﹣m﹣3﹣(m2+2m﹣3)=﹣m2﹣3m,
∴S=DE×|﹣3﹣0|=﹣(m2+m)(﹣3<m<0).
∵﹣<0,且S=﹣(m2+m)=﹣(m+)2+,
∴当m=﹣时,S取最大值,最大值为.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题