如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BC∥x轴，抛物线y=ax2－2ax＋3经过△ABC的三个顶点，并且与x...

国语站题库 2.3W

问题详情：

如图，在△ABC中，∠BAC=90°， BC∥x轴，抛物线y=ax 2 －2ax＋3经过△ABC的三个顶点，并且与x轴交于点D、E，点A为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接CD，在抛物线的对称轴上是否存在一点P使△PCD为直角三角形，若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

（1）∵y=ax 2 －2ax＋3 ∴它的对称轴为直线x= 令x=0，则y=3, ∴B（0，3）根据抛物线的对称*知：C（2，3），A（1，4）把A（1，4）代入y=ax 2 －2ax＋3，得：a=-1 ∴抛物线的解析式为：y=-x 2 +2x+3；（2）存在.分两种情况：（1）当CD为直角边时，设P（1，a）： i)当点P在x轴上方时，DP= ，CP= ，， ∵CD 2 +CA 2 =AD 2 ∴18+2=4+a 2 即：a 2 =16 解得a=±4（负舍去） ∴a=4 ii)当点P在x轴下方时，CD 2 +DP 2 =CP 2 ∴ 解得：a=-2 (2)当CD为斜边时，同理可以得出：a= 综上所述，点P的坐标分别为：P 1 (1，4) P 2 (1，-2)