综合与探究如图1所示,直线y=x+c与x轴交于点A(﹣4,0),与y轴交于点C,抛物线y=﹣x2+bx+c经过...
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综合与探究
如图1所示,直线y=x+c与x轴交于点A(﹣4,0),与y轴交于点C,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A,C.
(1)求抛物线的解析式
(2)点E在抛物线的对称轴上,求CE+OE的最小值;
(3)如图2所示,M是线段OA的上一个动点,过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N
①若以C,P,N为顶点的三角形与△APM相似,则△CPN的面积为 或4 ;
②若点P恰好是线段MN的中点,点F是直线AC上一个动点,在坐标平面内是否存在点D,使以点D,F,P,M为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
注:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(﹣,)
【回答】
【解答】解:(1)将A(﹣4,0)代入y=x+c
∴c=4
将A(﹣4,0)和c=4代入y=﹣x2+bx+c
∴b=﹣3
∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣3x+4
(2)做点C关于抛物线的对称轴直线l的对称点C′,连OC′,交直线l于点E.
连CE,此时CE+OE的值最小.
∵抛物线对称轴位置线x=﹣
∴CC′=3
由勾股定理OC′=5
∴CE+OE的最小值为5
(3)①当△CNP∽△AMP时,
∠CNP=90°,则NC关于抛物线对称轴对称
∴NC=NP=3∴△CPN的面积为
当△CNP∽△MAP时
由已知△NCP为等腰直角三角形,∠NCP=90°
过点C作CE⊥MN于点E,设点M坐标为(a,0)
∴EP=EC=﹣a,
则N为(a,﹣a2﹣3a+4),MP=﹣a2﹣3a+4﹣(﹣2a)=﹣a2﹣a+4
∴P(a,﹣a2﹣a+4)
代入y=x+4
解得a=﹣2
∴△CPN的面积为4
故*为:或4
②存在
设M坐标为(a,0)
则N为(a,﹣a2﹣3a+4)
则P点坐标为(a,)
把点P坐标代入y=﹣x+4
解得a1=﹣4(舍去),a2=﹣1
当PF=FM时,点D在MN垂直平分线上,则D()
当PM=PF时,由菱形*质点D坐标为(﹣1+,)(﹣1﹣,﹣)
当MP=MF时,M、D关于直线y=﹣x+4对称,点D坐标为(﹣4,3)
知识点:各地中考
题型:综合题