如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),B(5,0)两点,直线y=﹣x+3与y轴交于点C,...
问题详情:
如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),B(5,0)两点,直线y=﹣x+3与y轴交于点C,与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点,过点P作PF⊥x轴于点F,交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若PE=5EF,求m的值;
(3)若点E′是点E关于直线PC的对称点,是否存在点P,使点E′落在y轴上?若存在,请直接写出相应的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)用含m的代数式分别表示出PE、EF,然后列方程求解;
(3)解题关键是识别出当四边形PECE′是菱形,然后根据PE=CE的条件,列出方程求解;当四边形PECE′是菱形不存在时,P点y轴上,即可得到点P坐标.
【解答】方法一:
解:(1)将点A、B坐标代入抛物线解析式,得:
,解得,
∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+4x+5.
(2)∵点P的横坐标为m,
∴P(m,﹣m2+4m+5),E(m,﹣ m+3),F(m,0).
∴PE=|yP﹣yE|=|(﹣m2+4m+5)﹣(﹣m+3)|=|﹣m2+m+2|,
EF=|yE﹣yF|=|(﹣m+3)﹣0|=|﹣m+3|.
由题意,PE=5EF,即:|﹣m2+m+2|=5|﹣m+3|=|m+15|
①若﹣m2+m+2=m+15,整理得:2m2﹣17m+26=0,
解得:m=2或m=;
②若﹣m2+m+2=﹣(m+15),整理得:m2﹣m﹣17=0,
解得:m=或m=.
由题意,m的取值范围为:﹣1<m<5,故m=、m=这两个解均舍去.
∴m=2或m=.
(3)假设存在.
作出示意图如下:
∵点E、E′关于直线PC对称,
∴∠1=∠2,CE=CE′,PE=PE′.
∵PE平行于y轴,∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,∴PE=CE,
∴PE=CE=PE′=CE′,即四边形PECE′是菱形.
当四边形PECE′是菱形存在时,
由直线CD解析式y=﹣x+3,可得OD=4,OC=3,由勾股定理得CD=5.
过点E作EM∥x轴,交y轴于点M,易得△CEM∽△CDO,
∴,即,解得CE=|m|,
∴PE=CE=|m|,又由(2)可知:PE=|﹣m2+m+2|
∴|﹣m2+m+2|=|m|.
①若﹣m2+m+2=m,整理得:2m2﹣7m﹣4=0,解得m=4或m=﹣;
②若﹣m2+m+2=﹣m,整理得:m2﹣6m﹣2=0,解得m1=3+,m2=3﹣.
由题意,m的取值范围为:﹣1<m<5,故m=3+这个解舍去.
当四边形PECE′是菱形这一条件不存在时,
此时P点横坐标为0,E,C,E'三点重合与y轴上,菱形不存在.
综上所述,存在满足条件的点P,可求得点P坐标为(﹣,),(4,5),(3﹣,2﹣3)
方法二:
(1)略.
(2)略.
(3)若E关于直线PC的对称点E′在y轴上,则直线CD与直线CE关于PC轴对称.
∴点D关于直线PC的对称点D′也在y轴上,
∴DD′⊥CP,∵y=﹣x+3,
∴D(4,0),CD=5,
∵OC=3,
∴OD′=8或OD′=2,
①当OD′=8时,D′(0,8),设P(t,﹣t2+4t+5),D(4,0),C(0,3),
∵PC⊥DD′,∴KPC×KDD′=﹣1,
∴,
∴2t2﹣7t﹣4=0,
∴t1=4,t2=,
②当OD′=2时,D′(0,﹣2),
设P(t,﹣t2+4t+5),
∵PC⊥DD′,∴KPC×KDD′=﹣1,
∴=﹣1,
∴t1=3+,t2=3﹣,
∵点P是x轴上方的抛物线上一动点,
∴﹣1<t<5,
∴点P的坐标为(﹣,),(4,5),(3﹣,2﹣3).
【点评】本题是二次函数压轴题,综合考查了二次函数与一次函数的图象与*质、点的坐标、待定系数法、菱形、相似三角形等多个知识点,重点考查了分类讨论思想与方程思想的灵活运用.需要注意的是,为了避免漏解,表示线段长度的代数式均含有绝对值,解方程时需要分类讨论、分别计算.
知识点:二次函数的图象和*质
题型:解答题