(2019·河南中考模拟)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于C.直线y=x+3经...
问题详情:
(2019·河南中考模拟)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于C.直线y=x+3经过点A、C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)P是抛物线上一动点,过P作PM∥y轴交直线AC于点M,设点P的横坐标为t.
①若以点C、O、M、P为顶点的四边形是平行四边形,求t的值.
②当*线MP,AC,MO中一条*线平分另外两条*线的夹角时,直接写出t的值.
【回答】
(1);(2)①满足条件的t的值为2或﹣2+2或﹣2﹣2;②综合以上可得t的值为
【解析】
(1)在y=x+3中,令x=0,y=3;令y=0,x=﹣4,得A(﹣4,0),C(0,3),
代入抛物线y=-x2+bx+c解析式得:,
∴抛物线的解析式;
(2)设P(t,),
∵四边形OCMP为平行四边形,
∴PM=OC=3,PM∥OC,
∴M点的坐标可表示为(t,t+3),
∴PM=,
∴|=3,
当﹣t2﹣3t=3,解得t=2,
当﹣t2﹣3t=﹣3,解得t1=﹣2+2,t2=﹣2﹣2,
综上所述,满足条件的t的值为2或﹣2+2或﹣2﹣2;
(3)如图1,
若当MP平分AC、MO的夹角,
则∠AMN=∠OMN,
∵PN⊥OA,
∴AN=ON,
∴t的值为﹣2;
如图2,
若AC平分MP、MO的夹角,过点C作CH⊥OA,CG⊥MP,
则CG=CH,
∵,
∴OM=OC=3,
∵点M在直线AC上,
∴M(t,t+3),
∴MN2+ON2=OM2,可得,,
解得t=﹣,
如图3,
若MO平分AC、MP的夹角,则可得∠NMO=∠OMC,过点O作OK⊥AC,
∴OK=ON,
∵∠AKO=∠AOC=90°,∠OAK=OAC,
∴△AOK∽△ACO,
∴,
∴,
∴OK=,
∴t=﹣,
综合以上可得t的值为.
【点睛】
本题考查了二次函数的知识,其中涉及了平行四边形的判定,角平分线的*质定理、等腰三角形的判定等知识.
知识点:相似三角形
题型:综合题