如图,对称轴为直线x=1的抛物线y=x2﹣bx+c与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)(x1<x2)两点,...
问题详情:
如图,对称轴为直线x=1的抛物线y=x2﹣bx+c与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)(x1<x2)两点,与y轴交于C点,且+=﹣.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线顶点为D,直线BD交y轴于E点;
①设点P为线段BD上一点(点P不与B、D两点重合),过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F,求△BDF面积的最大值;
②在线段BD上是否存在点Q,使得∠BDC=∠QCE?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
解:(1)∵抛物线对称轴为直线x=1
∴﹣
∴b=2
由一元二次方程根与系数关系:
x1+x2=﹣,x1x2=
∴+==﹣
∴﹣
则c=﹣3
∴抛物线解析式为:y=x2﹣2x﹣3
(2)由(1)点D坐标为(1,﹣4)
当y=0时,x2﹣2x﹣3=0
解得x1=﹣1,x2=3
∴点B坐标为(3,0)
①设点F坐标为(a,b)
∴△BDF的面积S=×(4﹣b)(a﹣1)+(﹣b)(3﹣a)﹣×2×4
整理的S=2a﹣b﹣6
∵b=a2﹣2a﹣3
∴S=2a﹣(a2﹣2a﹣3)﹣6=﹣a2+4a﹣3
∵a=﹣1<0
∴当a=2时,S最大=﹣4+8﹣3=1
②存在
由已知点D坐标为(1,﹣4),点B坐标为(3,0)
∴直线BD解析式为:y=2x﹣6
则点E坐标为(0,﹣6)
连BC、CD,则由勾股定理
CB2=(3﹣0)2+(﹣3﹣0)2=18
CD2=12+(﹣4+3)2=2
BD2=(﹣4)2+(3﹣1)2=20
∴CB2+CD2=BD2
∴∠BDC=90°
∵∠BDC=∠QCE
∴∠QCE=90°
∴点Q纵坐标为﹣3
代入﹣3=2x﹣6
∴x=
∴存在点Q坐标为(,﹣3)
知识点:各地中考
题型:综合题