如图,抛物线y=ax2+bx-5(a≠0)经过x轴上的点A(1,0)和点B及y轴上的点C,经过B、C两点的直线...
问题详情:
如图,抛物线y=ax2+bx-5(a≠0)经过x轴上的点A(1,0)和点B及y轴上的点C,经过B、C两点的直线为y=x+n. ①求抛物线的解析式. ②点P从A出发,在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动,同时点E从B出发,在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动.当其中一个点到达终点时,另一点也停止运动.设运动时间为t秒,求t为何值时,△PBE的面积最大并求出最大值. ③过点A作AM⊥BC于点M,过抛物线上一动点N(不与点B、C重合)作直线AM的平行线交直线BC于点Q.若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点N的横坐标.
【回答】
解:①∵点B、C在直线为y=x+n上, ∴B(-n,0)、C(0,n), ∵点A(1,0)在抛物线上, ∴, ∴a=-1,b=6, ∴抛物线解析式:y=-x2+6x-5; ②由题意,得, PB=4-t,BE=2t, 由①知,∠OBC=45°, ∴点P到BC的高h为BPsin45°=(4-t), ∴S△PBE=BE•h==, 当t=2时,△PBE的面积最大,最大值为2; ③由①知,BC所在直线为:y=x-5, ∴点A到直线BC的距离d=2, 过点N作x轴的垂线交直线BC于点P,交x轴于点H. 设N(m,-m2+6m-5),则H(m,0)、P(m,m-5), 易*△PQN为等腰直角三角形,即NQ=PQ=2, ∴PN=4, Ⅰ.NH+HP=4, ∴-m2+6m-5-(m-5)=4 解得m1=1,m2=4, ∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形, ∴m=4; Ⅱ.NH+HP=4, ∴m-5-(-m2+6m-5)=4 解得m1=,m2=, ∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形, m>5, ∴m=, Ⅲ.NH-HP=4, ∴-(-m2+6m-5)-[-(m-5)]=4, 解得m1=,m2=, ∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形, m<0, ∴m=, 综上所述,若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形,点N的横坐标为:4或或. 【解析】
①点B、C在直线为y=x+n上,则B(-n,0)、C(0,n),点A(1,0)在抛物线上,所以,解得a=-1,b=6,因此抛物线解析式:y=-x2+6x-5; ②先求出点P到BC的高h为BPsin45°=(4-t),于是S△PBE=BE•h==,当t=2时,△PBE的面积最大,最大值为2; ③由①知,BC所在直线为:y=x-5,所以点A到直线BC的距离d=2,过点N作x轴的垂线交直线BC于点P,交x轴于点H.设N(m,-m2+6m-5),则H(m,0)、P(m,m-5),易*△PQN为等腰直角三角形,即NQ=PQ=2,PN=4,Ⅰ.NH+HP=4,所以-m2+6m-5-(m-5)=4解得m1=1(舍去),m2=4,Ⅱ.NH+HP=4,m-5-(-m2+6m-5)=4解得m1=,m2=(舍去),Ⅲ.NH-HP=4,-(-m2+6m-5)-[-(m-5)]=4,解得m1=(舍去),m2=. 本题考查了二次函数,熟练掌握二次函数的*质、平行四边形的判定与*质是解题的关键.
知识点:各地中考
题型:综合题