已知椭圆:的左、右焦点分别为,过点作垂直于轴的直线,直线垂直于点,线段的垂直平分线交于点.(1)求点的轨迹的方...
问题详情:
已知椭圆:的左、右焦点分别为,过点作垂直于轴的直线,直线垂直于点,线段的垂直平分线交于点.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)过点作两条互相垂直的直线,且分别交椭圆于,求四边形面积的最小值.
【回答】
1);(2).
试题分析:(1)求得椭圆的焦点坐标,连接,由垂直平分线的*质可得,运用抛物线的定义,即可得到所求轨迹方程;(2)分类讨论:当或中的一条与轴垂直而另一条与轴重合时,此时四边形面积.当直线和的斜率都存在时,不妨设直线的方程为,则直线的方程为.分别与椭圆的方程联立得到根与系数的关系,利用弦长公式可得,.利用四边形面积即可得到关于斜率的式子,再利用*和二次函数的最值求法,即可得出.
试题解析:解:(1)∵,∴点到定直线:的距离等于它到定点的距离,∴点的轨迹是以为准线,为焦点的抛物线.
∴点的轨迹的方程为.
(2)当直线的斜率存在且不为零时,直线的斜率为,,,则直线的斜率为,直线的方程为,联立,得.
∴,.
.由于直线的斜率为,用代换上式中的。可得.
∵,∴四边形的面积.
由于,∴,当且仅当,即时取得等号.
易知,当直线的斜率不存在或斜率为零时,四边形的面积.
综上,四边形面积的最小值为.
考点:椭圆的简单*质.
【思路点晴】求得椭圆的焦点坐标,由垂直平分线的*质可得,运用抛物线的定义,即可得所求的轨迹方程.第二问分类讨论,当或中的一条与轴垂直而另一条与轴重合时,四边形面积为.当直线和的斜率都存在时,分别设出的直线方程与椭圆联立得到根与系数的关系,利用弦长公式求得,从而利用四边形的面积公式求最值.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题