已知点为双曲线：的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且，圆的方程是．（1）求双曲线的方程；...
问题详情：
已知点
为双曲线
：
的左、右焦点，过
作垂直于
轴的直线，在
轴上方交双曲线
于点
，且
，圆
的方程是
．
（1）求双曲线
的方程；
（2）过双曲线
上任意一点
作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为
，求
的值；
（3）过圆
上任意一点
作圆
的切线
交双曲线
于
两点，
中点为
，求*:
．
【回答】
解（1）设
、
的坐标分别为
、
因为点
在双曲线
上，所以
，即
，所以
在
中，
，
，所以
由双曲线的定义可知：
故双曲线
的方程为：
……………（4分）
（2）由条件可知：两条渐近线分别为
， 
设双曲线
上的点
，设
的倾斜角为
，则
则点
到两条渐近线的距离分别为
，
……（6分）
因为
在双曲线
上，所以
，从而
…（8分）所以
……………（10分）
（3）由题意，即*：
．
设
，切线
的方程为：
，且
①当
时，将切线
的方程代入双曲线
中，化简得：
所以：
又
所以
②当
时，易知上述结论也成立． 所以
综上，
，所以
．
知识点：圆锥曲线与方程
题型：综合题
