已知双曲线,点、分别为双曲线的左、右焦点,动点在轴上方.(1)若点的坐标为是双曲线的一条渐近线上的点,求以、为...
问题详情:
已知双曲线,点、分别为双曲线的左、右焦点,动点在轴上方.
(1)若点的坐标为是双曲线的一条渐近线上的点,求以、为焦点且经过点的椭圆的方程;
(2)若∠,求△的外接圆的方程;
(3)若在给定直线上任取一点,从点向(2)中圆引一条切线,切点为. 问是否存在一个定点,恒有?请说明理由.
【回答】
解:(1)双曲线的左、右焦点、的坐标分别为和,
∵双曲线的渐进线方程为:,
∴点的坐标为是渐进线上的点,即点的坐标为。
∵∴椭圆的长轴长
∵半焦距,∴椭圆的方程 ……………………..5分
(2)∵,∴,即
又圆心在线段的垂直平分线上,故可设圆心
由。∴△的外接圆的方程为……………..9分
(3)假设存在这样的定点设点P的坐标为
∵恒有,∴
即对恒成立。
从而,消去,得
∵方程的判别式
∴①当时,方程无实数解,∴不存在这样的定点;
②当时,方程有实数解,此时,即直线与圆相离或相切,故此时存在这样的定点
知识点:圆锥曲线与方程
题型:综合题