已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣x2+4x，（1）求f（x）的解析式（2）若函数...

问题详情：

已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣x2+4x，

（1）求f（x）的解析式

（2）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围．

【回答】

【考点】函数奇偶*的*质；函数解析式的求解及常用方法．

【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的*质及应用．

【分析】（1）先求f（0）=0，再设x＜0，由奇函数的*质f（x）=﹣f（﹣x），利用x＞0时的表达式求出x＜0时函数的表达式．

（2）函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，可得﹣1＜a﹣2≤2，即可求实数a的取值范围．

【解答】解：（1）∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，

∴f（0）=0，且f（﹣x）=﹣f（x），

∴f（x）=﹣f（﹣x），

设x＜0，则﹣x＞0，

∴f（﹣x）=﹣x2﹣4x，

∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣x2﹣4x）=x2+4x，

∴f（x）=；

（2）∵函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，

∴﹣1＜a﹣2≤2，

∴1＜a≤4．

【点评】本题主要考查奇函数的*质求解函数的解析式，关键是利用原点两侧的函数表达式之间的关系解题．

知识点：*与函数的概念

题型：解答题