在平面直角坐标系中,已知抛物线C:y=ax2+2x-1(a≠0)和直线l:y=kx+b,点A(-3,-3),B...
问题详情:
在平面直角坐标系中,已知抛物线C:y=ax2+2x-1(a≠0)和直线l:y=kx+b,点A(-3,-3),B(1,-1)均在直线l上. (1)若抛物线C与直线l有交点,求a的取值范围; (2)当a=-1,二次函数y=ax2+2x-1的自变量x满足m≤x≤m+2时,函数y的最大值为-4,求m的值; (3)若抛物线C与线段AB有两个不同的交点,请直接写出a的取值范围.
【回答】
解:(1)点A(-3,-3),B(1,-1)代入y=kx+b, ∴, ∴, ∴y=x-; 联立y=ax2+2x-1与y=x-,则有2ax2+3x+1=0, ∵抛物线C与直线l有交点, ∴△=9-8a≥0, ∴a≤且a≠0; (2)根据题意可得,y=-x2+2x-1, ∵a<0, ∴抛物线开口向下,对称轴x=1, ∵m≤x≤m+2时,y有最大值-4, ∴当y=-4时,有-x2+2x-1=-4, ∴x=-1或x=3, ①在x=1左侧,y随x的增大而增大, ∴x=m+2=-1时,y有最大值-4, ∴m=-3; ②在对称轴x=1右侧,y随x最大而减小, ∴x=m=3时,y有最大值-4; 综上所述:m=-3或m=3; (3)①a<0时,x=1时,y≤-1, 即a≤-2; ②a>0时,x=-3时,y≥-3, 即a≥, 直线AB的解析式为y=x-, 抛物线与直线联立:ax2+2x-1=x-, ∴ax2+x+=0, △=-2a>0, ∴a<, ∴a的取值范围为≤a<或a≤-2; 【解析】
(1)点A(-3,-3),B(1,-1)代入y=kx+b,求出y=x-;联立y=ax2+2x-1与y=x-,则有2ax2+3x+1=0,△=9-8a≥0即可求解; (2)根据题意可得,y=-x2+2x-1,当y=-4时,有-x2+2x-1=-4,x=-1或x=3;①在x=1左侧,y随x的增大而增大,x=m+2=-1时,y有最大值-4,m=-3; ②在对称轴x=1右侧,y随x最大而减小,x=m=3时,y有最大值-4; (3))①a<0时,x=1时,y≤-1,即a≤-2; ②a>0时,x=-3时,y≥-3,即a≥,直线AB的解析式为y=x-,抛物线与直线联立:ax2+2x-1=x-,△=-2a>0,则a<,即可求a的范围;
知识点:各地中考
题型:综合题