如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,...
问题详情:
如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,连接BC.
(1)求该抛物线的解析式,并写出它的对称轴;
(2)点D为抛物线对称轴上一点,连接CD、BD,若∠DCB=∠CBD,求点D的坐标;
(3)已知F(1,1),若E(x,y)是抛物线上一个动点(其中1<x<2),连接CE、CF、EF,求△CEF面积的最大值及此时点E的坐标.
(4)若点N为抛物线对称轴上一点,抛物线上是否存在点M,使得以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出所有满足条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
解:(1)将点A(﹣1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx+2,
可得a=﹣,b=,
∴y=﹣x2+x+2;
∴对称轴x=1;
(2)如图1:过点D作DG⊥y轴于G,作DH⊥x轴于H,
设点D(1,y),
∵C(0,2),B(3,0),
∴在Rt△CGD中,CD2=CG2+GD2=(2﹣y)2+1,
∴在Rt△BHD中,BD2=BH2+HD2=4+y2,
在△BCD中,∵∠DCB=∠CBD,
∴CD=BD,
∴CD2=BD2,
∴(2﹣y)2+1=4+y2,
∴y=,
∴D(1,);
(3)如图2:过点E作EQ⊥y轴于点Q,过点F作直线FR⊥y轴于R,过点E作FP⊥FR于P,
∴∠EQR=∠QRP=∠RPE=90°,
∴四边形QRPE是矩形,
∵S△CEF=S矩形QRPE﹣S△CRF﹣S△EFP,
∵E(x,y),C(0,2),F(1,1),
∴S△CEF=EQ•QR﹣×EQ•QC﹣CR•RF﹣FP•EP,
∴S△CEF=x(y﹣1)﹣x(y﹣2)﹣×1×1﹣(x﹣1)(y﹣1),
∵y=﹣x2+x+2,
∴S△CEF=﹣x2+x,
∴当x=时,面积有最大值是,
此时E(,);
(4)存在点M使得以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形,
设N(1,n),M(x,y),
①四边形CMNB是平行四边形时,
=,
∴x=﹣2,
∴M(﹣2,﹣);
②四边形CNBM时平行四边形时,
=,
∴x=2,
∴M(2,2);
③四边形CNNB时平行四边形时,
=,
∴x=4,
∴M(4,﹣);
综上所述:M(2,2)或M(4,﹣)或M(﹣2,﹣);
知识点:各地中考
题型:综合题