以坐标原点为圆心，1为半径的圆分别交x，y轴的正半轴于点A，B．；如图，动点P从点A处出发，沿x轴向右匀速运动...

问题详情：

以坐标原点为圆心，1为半径的圆分别交x，y轴的正半轴于点A，B．；如图，动点P从点A处出发，沿x轴向右匀速运动，与此同时，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动．若点Q的运动速度比点P的运动速度慢，经过1秒后点P运动到点（2，0），此时Q走过的路程弧的长为；

（1）求此时点Q的坐标；

（2）此时PQ是否与⊙O相切？请说明理由．

（3）若点Q按照原来的方向和速度继续运动，点P停留在点（2，0）处不动，求点Q再经过5秒后直线PQ被⊙O截得的弦长．

【回答】

【考点】圆的综合题．

【分析】（1）先求出∠BOQ，再用含30°角的直角三角形的*质求出OC，CQ即可；

（2）用三角函数先求出∠OPQ，再求出∠OQP的度数即可得出结论；

（3）先求出Q点的运动速度，利用垂径定理，勾股定理可以解决．

【解答】解：（1）如图1，过点Q作QC⊥OA，设∠BOQ=n，

∵Q走过的路程弧的长为，

∴=，

∴n=30°，

∴∠BOQ=30°，

在Rt△OCQ中，∠COQ=90°﹣30°=60°，OQ=1，

∴OC=，CQ=，

∴Q（，）；

（2）如图1，∵P（2，0），

∴OP=2，

∴CP=OP﹣OC=，

在Rt△COP中，tan∠OPQ==，

∴锐角∠CPQ=30°，

∴∠OPQ+∠POQ=90°，

∴∠OQP=90°，

∴OQ⊥PQ，

∵点Q在⊙O上，

∴PQ与⊙O相切；

（3）由（1）可知点Q运动1秒时经过的弧长所对的圆心角为30°，

若Q按照原来的方向和速度继续运动，那么再过5秒，则点Q再绕点O顺时针旋转150°，

即：Q点落在⊙O与y轴负半轴的交点处（如图2）

．设直线PQ与⊙O的另外一个交点为D，

过O作OC⊥QD于点C，则C为QD的中点．

∵∠QOP=90°，OQ=1，OP=2，

∴QP=，

∵OQ•OP=QP•OC，

∴OC==，

∵OC⊥QD，OQ=1，

∴QC=，

∴QD=．

【点评】此题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，切线的判定，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数，解本题的关键是判断出点PQ是⊙O的切线和点Q再过5秒时的位置，是一道涉及知识点比较多的中考常考题．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题