如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=﹣x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点.动点P从点A出发,在线段...
问题详情:
如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=﹣x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点.动点P从点A出发,在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动,到达点O停止运动,点A关于点P的对称点为点Q,以线段PQ为边向上作正方形PQMN.设运动时间为t秒.
(1)当t=秒时,点Q的坐标是 ;
(2)在运动过程中,设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S,求S与t的函数表达式;
(3)若正方形PQMN对角线的交点为T,请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值.
【回答】
(1)(4,0);(2)①当0<t≤1时,S =t2;②当1<t≤时,S =﹣t2+18t;③当<t≤2时, S =﹣3t2+12;(3)OT+PT的最小值为.
【解析】
(1)先确定出点A的坐标,进而求出AP,利用对称*即可得出结论;
(2)分三种情况,①利用正方形的面积减去三角形的面积,②利用矩形的面积减去三角形的面积,③利用梯形的面积,即可得出结论;
(3)先确定出点T的运动轨迹,进而找出OT+PT最小时的点T的位置,即可得出结论.
【详解】
(1)令y=0,
∴﹣x+4=0,
∴x=6,
∴A(6,0),
当t=秒时,AP=3×=1,
∴OP=OA﹣AP=5,
∴P(5,0),
由对称*得,Q(4,0);
(2)当点Q在原点O时,OQ=6,
∴AP=OQ=3,
∴t=3÷3=1,
①当0<t≤1时,如图1,令x=0,
∴y=4,
∴B(0,4),
∴OB=4,
∵A(6,0),
∴OA=6,
在Rt△AOB中,tan∠OAB=,
由运动知,AP=3t,
∴P(6﹣3t,0),
∴Q(6﹣6t,0),
∴PQ=AP=3t,
∵四边形PQMN是正方形,
∴MN∥OA,PN=PQ=3t,
在Rt△APD中,tan∠OAB=,
∴PD=2t,
∴DN=t,
∵MN∥OA
∴∠DCN=∠OAB,
∴tan∠DCN=,
∴CN=t,
∴S=S正方形PQMN﹣S△CDN=(3t)2﹣t×t=t2;
②当1<t≤时,如图2,同①的方法得,DN=t,CN=t,
∴S=S矩形OENP﹣S△CDN=3t×(6﹣3t)﹣t×t=﹣t2+18t;
③当<t≤2时,如图3,S=S梯形OBDP=(2t+4)(6﹣3t)=﹣3t2+12;
(3)如图4,由运动知,P(6-3t,0),Q(6-6t,0), ∴M(6-6t,3t), ∵T是正方形PQMN的对角线交点, ∴T(6-), ∴点T是直线y=-x+2上的一段线段,(-3≤x<6), 同理:点N是直线AG:y=-x+6上的一段线段,(0≤x≤6), ∴G(0,6), ∴OG=6, ∵A(6,0), ∴AG=6,在Rt△ABG中,OA=6=OG, ∴∠OAG=45°, ∵PN⊥x轴, ∴∠APN=90°, ∴∠ANP=45°, ∴∠TNA=90°, 即:TN⊥AG, ∵T正方形PQMN的对角线的交点, ∴TN=TP, ∴OT+TP=OT+TN, ∴点O,T,N在同一条直线上(点Q与点O重合时),且ON⊥AG时,OT+TN最小, 即:OT+TN最小, ∵S△OAG=OA×OG=AG×ON, ∴ON==. 即:OT+PT的最小值为3
【点睛】
此题是一次函数综合题,主要考查了正方形的面积,梯形,三角形的面积公式,正方形的*质,勾股定理,锐角三角函数,用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键,找出点T的位置是解本题(3)的难点.
知识点:一次函数
题型:解答题