如图,在平面坐标系中,直线y=﹣x+2与x轴,y轴分别交于点A,点B,动点P(a,b)在第一象限内,由点P向x...
问题详情:
如图,在平面坐标系中,直线y=﹣x+2与x轴,y轴分别交于点A,点B,动点P(a,b)在第一象限内,由点P向x轴,y轴所作的垂线PM,PN(垂足为M,N)分别与直线AB相交于点E,点F,当点P(a,b)运动时,矩形PMON的面积为定值2.当点E,F都在线段AB上时,由三条线段AE,EF,BF组成一个三角形,记此三角形的外接圆面积为S1,△OEF的面积为S2。试探究:是否存在最大值?若存在,请求出该最大值;若不存在,请说明理由。
【回答】
存在。
∵四边形OAPN是矩形,∠OAF=∠EBO=45°,
∴△AME、△BNF、△PEF为等腰直角三角形。
∵E点的横坐标为a,E(a,2﹣a),
∴AM=EM=2﹣a。
∴AE2=2(2﹣a)2=2a2﹣8a+8。
∵F的纵坐标为b,F(2﹣b,b),
∴BN=FN=2﹣b。∴BF2=2(2﹣b)2=2b2﹣8b+8。
∵PF=PE=a+b﹣2,
∴EF2=2(a+b﹣2)2=2a2+4ab+2b2﹣8a﹣8b+8。
∵ab=2,
∴EF2=2a2+2b2﹣8a﹣8b+16。
∴EF2=AE2+BF2。
∴线段AE、EF、BF组成的三角形为直角三角形,且EF为斜边。
∴此三角形的外接圆的面积为。
∵,
∴S2=S梯形OMPF﹣S△PEF﹣S△OME,=(PF+ON)•PM﹣PF•PE﹣OM•EM
= [PF(PM﹣PE)+OM(PM﹣EM)]= (PF•EM+OM•PE)=PE(EM+OM)
=(a+b﹣2)(2﹣a+a)=a+b﹣2。
∴。
设m=a+b﹣2,则,
∵,
∴当时,有最大值,最大值为。
【考点】单动点问题,等腰直角三角形的判定和*质,勾股定理和逆定理,二次函数的*质,偶次幂的非负*质,转换思想的应用。
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题