如图，在平面直角坐标系中，以A（3，0）为圆心，以5为半径的圆与x轴相交于B、C，与y轴的负半轴相交于D．（1...

问题详情：

如图，在平面直角坐标系中，以A（3，0）为圆心，以5为半径的圆与x轴相交于B、C，与y轴的负半轴相交于D．

（1）若抛物线y=ax2+bx+c经过B、C、D三点，求此抛物线的解析式，并写出抛物线与圆A的另一个交点E的坐标；

（2）若动直线MN（MN∥x轴）从点D开始，以每秒1个长度单位的速度沿y轴的正方向移动，且与线段CD、y轴分别交于M、N两点，动点P同时从点C出发，在线段OC上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动，连接PM，设运动时间为t秒，当t为何值时，的值最大，并求出最大值；

（3）在（2）的条件下，若以P、C、M为顶点的三角形与△OCD相似，求实数t的值．

【回答】

（1）y=x2-x-4，E（6，-4）；（2）当t=2时取最大值2；（3）当t=2或t=时，以P、C、M为顶点的三角形与△OCD相似．

【解析】

试题分析：（1）根据点A的坐标和圆的半径可求出点B，点C，和点D的坐标，然后把抛物线的解析式设成两根式，把三点的坐标代入即可求出a的值，把a的值代入解析式化为一般式即可；由抛物线的对称*可知点D和点E关于抛物线的对称轴对称．利用-求出对称轴，利用对称轴和点D的坐标即可得出点E的坐标．

（2）根据路程等于速度乘以时间可得出DN=t，OP=8-2t，然后根据MN∥OC得出比例表示出MN，然后把表示出的MN和OP代入到得到一个关于t的二次函数，当t=-=2时，代入求出此时的最大值．

（3）把相似作为已知的条件来做，角PCM为公共角，所以分两种情况讨论：第一种△PCM∽△OCD，由相似的比例即可求出他的值；第二种情况△MCP∽△OCD，也有相似得比例，根据比例求出他的值．

试题解析：（1）由A（3，0）可知OA=3，又圆的半径为5得OB=2，OC=8，

所以B（-2，0）C（8，0），易得D（0，-4），

设y=a（x+2）（x-8），

从而-4=a（0+2）（0-8），

解得a=，

所以y=（x+2）（x-8），

即y=x2-x-4，

又-=3，点D和点E关于直线x=3对称，

所以E（6，-4）；

（2）N（0，t-4），因为MN∥OC，

所以，即MN=2t，

又OP=8-2t，所以

所以当t=2时取最大值2；

（3）若△PCM∽△OCD，

则，即，

解得t=2；

若△MCP∽△OCD，则，

即，

解得t=

即当t=2或t=时，以P、C、M为顶点的三角形与△OCD相似．

考点：二次函数综合题．

知识点：相似三角形

题型：解答题