如图,在三棱柱中,已知平面,,,.(1)求*:;(2)求直线与平面所成角的正弦值.
问题详情:
如图,在三棱柱中,
已知平面,,,.
(1)求*:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【回答】
解:(1)如图,连接,因为平面,平面,平面,所以,. ..........................................1分
又,所以四边形为正方形,所以.
因为,所以.又平面,平面,,所以,平面...........................................3分
因为平面,所以.
又平面,平面,,所以平面.因为平面,所以...............................5分
(2)解法1:在中,,,,所以.
又平面,,所以三棱锥的体积........7分
易知,,,
所以................................8分
设点到平面的距离为,则三棱锥的体积,
由等体积法可知,则,解得.设直线与平面所成的角为,则,故直线与平面所成角的正弦值为..............10分
解法2:(2)由(1)知,,,两两垂直,以为坐标原点,以,,所在的直线分别为,,轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为,.
所以,,,,........6分
所以,,...............7分
设平面的法向量为,则,即,
令,,所以为平面的一个法向量,
则....................... 9分
设直线与平面所成的角为,则,
故直线与平面所成角的正弦值为.......................10分
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题