如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延...

问题详情：

如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；

(3)如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【回答】

解：

(1)∵矩形OBDC的边CD=1，

∴OB=1，

∵AB=4，

∴OA=3，

∴A（﹣3，0），B（1，0），

把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2

(2)在y=﹣x2﹣x+2中，令y=2可得2=﹣x2﹣x+2，解得x=0或x=﹣2，

∴E（﹣2，2），

∴直线OE解析式为y=﹣x，

由题意可得P（m，﹣m2﹣m+2），

∵PG∥y轴，

∴G（m，﹣m），

∵P在直线OE的上方，

∴PG=﹣m2﹣m+2﹣（﹣m）=﹣m2﹣m+2=﹣（m+）2+，

∵直线OE解析式为y=﹣x，

∴∠PGH=∠COE=45°，

∴l=PG= [﹣（m+）2+]=﹣（m+）2+，

∴当m=﹣时，l有最大值，最大值为；

(3)①当AC为平行四边形的边时，则有MN∥AC，且MN=AC，如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F，设AC交对称轴于点L，

则∠ALF=∠ACO=∠FNM，

在△MFN和△AOC中

∴△MFN≌△AOC（AAS），

∴MF=AO=3，

∴点M到对称轴的距离为3，

又y=﹣x2﹣x+2，

∴抛物线对称轴为x=﹣1，

设M点坐标为（x，y），则|x+1|=3，解得x=2或x=﹣4，

当x=2时，y=﹣，当x=﹣4时，y=，

∴M点坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）；

②当AC为对角线时，设AC的中点为K，

∵A（﹣3，0），C（0，2），

∴K（﹣，1），

∵点N在对称轴上，

∴点N的横坐标为﹣1，

设M点横坐标为x，

∴x+（﹣1）=2×（﹣）=﹣3，解得x=﹣2，此时y=2，

∴M（﹣2，2）；

综上可知点M的坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的*质、等腰直角三角形的*质、全等三角形的判定和*质、平行四边形的判定和*质、方程思想及分类讨论思想等知识．在(1)中求得A、B的坐标是解题的关键，在(2)中确定出PG与l的关系是解题的关键，在(3)中确定出M的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合*较强，难度适中．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题