已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CD，CG⊥AD于点H，交AB于点G，E为AB上一点，连接CE交A...
问题详情：
已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CD，CG⊥AD于点H，交AB于点G，E为AB上一点，连接CE交AD于点F．
（1）如图1，若CE⊥AB于点E，HG=1，CH=5，求CF的长；
（2）如图2，若AC=AE，∠GEH=∠ECH，求*：CE=
HE；
（3）如图3，若E为AB的中点，作A关于CE的对称点A′，连接CA′，EA′，DA′，请直接写出∠CEH，∠A′CD，∠EA′D之间的等量关系．
【回答】
【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，CA=CD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD=∠CDA=45°，
∵CG⊥AD，
∴∠CHF=∠AHG=90°，∠ACH=∠DCH=
∠ACB=
×90°=45°，AH=DH=CH=5，
∴∠GAH+∠AGC=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEG=90°，
∴∠GCE+∠AGC=90°，
∴∠GCE=∠GAH，
在△CHF与△AHG中，
，
∴△CHF≌△AHG，
∴HF=HG=1，
∴CF=
=
=
；
（2）如图2，过H作MH⊥EH，交CE于M，连接AM，
∵AC=AE，
∴∠AEC=∠ACE，
∵∠GEH=∠ECG，
∵MH⊥EH，
∴△EHM为等腰直角三角形，∠EHM=90°，
∴EH=MH，EM=
HE，
∴∠AHM=∠AHC+∠CHM=90°+∠CHM=∠EHM+∠CHM=∠CHE，
在△AHM与△CHE中，
，
∴△AHM≌△CHE，
∴∠MAF=∠ECH，
∴∠MAF+∠AFC=∠ECH+∠AFC=180°，
∴∠CHD=180°﹣90°，
∴AM⊥CE，
∵AC=AE，
∴△ACE是等腰三角形，
∴CM=EM=
HE，
∴CE=2EM=2
HE；
（3）∵H为AD的中点，E我AB的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH∥BC，
∴∠CEH=∠BCE，
∴∠ACE=∠ACB﹣∠BCE=90°﹣∠BCE=90°﹣∠CEH，
∵EC=AE，
∴∠CAE=∠ACE=90°﹣∠CEH，
∴∠CAE=∠ACE=90°﹣∠CEH，
∵A关于CE的对称点A′，
∴∠CA′E=∠CAE=90°﹣∠CEH，CA=CA′，
∵CA=CD，
∴CA′=CD，
∴∠CDA′=∠CA′D=∠CA′E+∠EA′D=90°﹣∠CEH+∠EA′D，
∵∠A′CD+∠CDA′+∠CA′D=180°，
∴∠A′CD+90°﹣∠CEH+∠EA′D+90°﹣∠CEH+∠EA′D=180°，
化简得：∠A′CD+2∠EA′D=2∠CEH，
知识点：勾股定理
题型：综合题
