在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于点D,点E为AB的中点,EC与AD交于点G,点F在BC上.(1)如...
问题详情:
在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于点D,点E为AB的中点,EC与AD交于点G,点F在BC上.
(1)如图1,AC:AB=1:2,EF⊥CB,求*:EF=CD.
(2)如图2,AC:AB=1:,EF⊥CE,求EF:EG的值.
【回答】
【考点】S9:相似三角形的判定与*质;KD:全等三角形的判定与*质.
【分析】(1)根据同角的余角相等得出∠CAD=∠B,根据AC:AB=1:2及点E为AB的中点,得出AC=BE,再利用AAS*△ACD≌△BEF,即可得出EF=CD;
(2)作EH⊥AD于H,EQ⊥BC于Q,先*四边形EQDH是矩形,得出∠QEH=90°,则∠FEQ=∠GEH,再由两角对应相等的两三角形相似*△EFQ∽△EGH,得出EF:EG=EQ:EH,然后在△BEQ中,根据正弦函数的定义得出EQ=BE,在△AEH中,根据余弦函数的定义得出EH=AE,又BE=AE,进而求出EF:EG的值.
【解答】(1)*:如图1,
在△ABC中,∵∠CAB=90°,AD⊥BC于点D,
∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB.
∵AC:AB=1:2,
∴AB=2AC,
∵点E为AB的中点,
∴AB=2BE,
∴AC=BE.
在△ACD与△BEF中,
,
∴△ACD≌△BEF,
∴CD=EF,即EF=CD;
(2)解:如图2,作EH⊥AD于H,EQ⊥BC于Q,
∵EH⊥AD,EQ⊥BC,AD⊥BC,
∴四边形EQDH是矩形,
∴∠QEH=90°,
∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG,
又∵∠EQF=∠EHG=90°,
∴△EFQ∽△EGH,
∴EF:EG=EQ:EH.
∵AC:AB=1:,∠CAB=90°,
∴∠B=30°.
在△BEQ中,∵∠BQE=90°,
∴sinB==,
∴EQ=BE.
在△AEH中,∵∠AHE=90°,∠AEH=∠B=30°,
∴cos∠AEH==,
∴EH=AE.
∵点E为AB的中点,
∴BE=AE,
∴EF:EG=EQ:EH=BE: AE=1: =:3.
知识点:相似三角形
题型:解答题