已知M(-1,m),N(2,n)是二次函数f(x)=ax2(a>0)图象上两点,且MN=3.(1)求a的...

问题详情：

已知M(-1,m),N(2,n)是二次函数f(x)=ax2(a>0)图象上两点,且MN=3.

(1)求a的值.

(2)求f(x)的图象在N点处切线的方程.

(3)设直线x=t与f(x)和曲线y=lnx的图象分别交于点P,Q,求PQ的最小值.

【回答】

【解析】(1)由题意得:

解得a=1.

(2)由(1)可得:f(x)=x2,N(2,4),

所以f′(x)=2x,则f(x)的图象在N点处切线的斜率为4,

所以f(x)的图象在N点处的切线方程为y=4x-4,

(3)由题意可得:PQ=|t2-lnt|,t>0,

令g(t)=t2-lnt,t>0,

g′(t)=2t-=,t>0,

所以当t∈时,g′(t)<0,g(t)单调递减;

当t∈时,g′(t)>0,g(t)单调递增.

所以g(t)≥g=+ln2.

所以PQ的最小值为+ln2.

知识点：导数及其应用

题型：解答题