已知函数f(x)=x2+2alnx.(1)求函数f(x)的单调区间.(2)若函数g(x)=+f(x)在[1,2...

问题详情：

已知函数f(x)=x2+2alnx.

(1)求函数f(x)的单调区间.

(2)若函数g(x)=+f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围.

【回答】

【解析】(1)f′(x)=2x+=,函数f(x)的定义域为(0,+∞).

①当a≥0时,f′(x)>0,f(x)的单调递增区间为(0,+∞);

②当a<0时,f′(x)=.

当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下:

由表格可知,函数f(x)的单调递减区间是(0,).

单调递增区间是(,+∞).

(2)由g(x)=+x2+2alnx得g′(x)=-+2x+,

由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数,则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立,

即-+2x+≤0在[1,2]上恒成立.即a≤-x2在[1,2]上恒成立.

令h(x)=-x2,在[1,2]上h′(x)=--2x

=-<0,

所以h(x)在[1,2]上为减函数,h(x)min=h(2)

=-,所以a≤-.

故实数a的取值范围为{a|a≤-}.

知识点：导数及其应用

题型：解答题