如图，是的直径，点为的中点，为的弦，且，垂足为，连接交于点，连接，，．(1)求*：；(2)若，求的长．
问题详情：
如图，
是
的直径，点
为
的中点，
为
的弦，且
，垂足为
，连接
交
于点
，连接
，
，
．
(1)求*：
；
(2)若
，求
的长．
【回答】
(1)*见解析；(2)
.
【分析】
(1)根据点
为
的中点和垂径定理可*CD=BF，再利用
即可*得结论；
(2)解法一：连接
，设
的半径为
，由
列出关于
的方程就能求解；
解法二：如图，作辅助线，构建角平分线和全等三角形，*
，得
，再*
，得
，进而可得
和
的长，易*
，列比例式可求得
的长，也就是
的长；
解法三：连接
，根据垂径定理和三角形的中位线定理可得
，再*
，然后利用勾股定理即可求出结果．
【详解】
*：(1)∵
是
的中点，∴
，
∵
是
的直径，且
，∴
，
∴
，∴
，
在
和
中，
∵
，
∴
；
(2)解法一：如图，连接
，设
的半径为
，
中，
，即
，
中，
，即
，
∵
，∴
，∴
，
∴
，
即
，
解得：
(舍)或3，
∴
，
∴
；
解法二：如图，过
作
交AD延长线于点
，连接
、
，
∵
，∴
，
∵
，∴
，
∵
，∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，∴
，∴
，
∵
是
的直径，∴
，∴
，
∵
，∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
解法三：如图，连接
，交
于
，
∵
是
的中点，∴
，∴
，
∵
，∴
，
∵
，
，
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与*质、圆周角定理、垂径定理、一元二次方程的求解、三角形全等的*质和判定以及勾股定理等知识．第二问有难度，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．
知识点：解一元二次方程
题型：解答题
