如图，是的外接圆，直线与相切于点，连接交于点．（1）求*：平分；（2）若的平分线交于点，且，，求的长．
问题详情：
如图，
是
的外接圆，直线
与
相切于点
，连接
交
于点
．
（1）求*：
平分
；
（2）若
的平分线
交
于点
，且
，
，求
的长．
【回答】
（1）见解析；（2）
【解析】
（1）连接OE，利用垂径定理、圆周角、弧、弦的关系*得结论；
（2）根据题意*BE=EF，得到BE的长，再*△EBD∽△EAB得到
， 求出AE，从而得到AF．
【详解】
解：（1）连接OE． ∵直线EG与⊙O相切于E， ∴OE⊥EG． ∵EG∥BC， ∴OE⊥BC，
∴
，
∴∠BAE=∠CAE． ∴AE平分∠BAC；
（2）如图，∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠4，
∵∠1=∠5，
∴∠4=∠5，
∵BF平分∠ABC，
∴∠2=∠3，
∵∠6=∠3+∠4=∠2+∠5，即∠6=∠EBF，
∴EB=EF，
∵DE=3，DF=2，
∴BE=EF=DE+DF=5，
∵∠5=∠4，∠BED=∠AEB，
∴△EBD∽△EAB，
∴
，即
，
∴AE=
，
∴AF=AE-EF=
-5=
．
【点睛】
本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆周角、弧、弦的关系，切线的*质，相似三角形的判定和*质，掌握定理并熟练运用是解题必备的能力．
知识点：相似三角形
题型：综合题
