如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，DC上，AE、AF分别交BD于点M，N，连接CN、EN，且CN...

问题详情：

如图，在正方形ABCD 中，点E，F分别在边BC，DC上，AE、AF分别交BD于点M，N，连接CN、EN，且CN=EN．下列结论：①AN=EN，AN⊥EN；②BE+DF=EF；③∠DFE=2∠AMN；④EF2=2BM2+2DN2；⑤图中只有4对相似三角形．其中正确结论的个数是（　　）

A．5    B．4    C．3    D．2

【回答】

B解：将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADH．

∵四边形ABCD是中正方形，

∴AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，∠ABD=∠CBD=45°，

在△BNA和△BNC中，

，

∴△NBA≌△NBC，

∴AN=CN，∠BAN=∠BCN，

∵EN=CN，

∴AN=EN，∠NEC=∠NCE=∠BAN，

∵∠NEC+∠BEN=180°，

∴∠BAN+∠BEN=180°，

∴∠ABC+∠ANE=180°，

∴∠ANE=90°，

∴AN=NE，AN⊥NE，故①正确，

∵∠3=45°，∠1=∠4，

∴∠2+∠4=∠2+∠1=45°，

∴∠3=∠FAH=45°，∵AF=AF，AE=AH，

∴△AFE≌△AFH，

∴EF=FH=DF+DH=DF+BE，∠AFH=∠AFE，故②正确，

∵∠MAN=∠NDF=45°，∠ANM=∠DNF，

∴∠AMN=∠AFD，

∴∠DFE=2∠AMN，故③正确，

∵∠MAN=∠EAF，∠AMN=∠AFE，

∴△AMN∽△AFE，

∴==，

∴EF=MN，

如图2中，将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，

易*△ANG≌△ANM，△GDN是直角三角形，

∴MN=GN，

∴MN2=DN2+DG2=DN2+BM2，

∴EF2=2（DN2+BM2）=2BM2+2DN2，故④正确，

图中相似三角形有△ANE∽△BAD～△BCD，△ANM∽△AEF，△ABN∽△FDN，△BEM∽△DAM等，故⑤错误，

故选B．

知识点：相似三角形

题型：选择题