l交于点E（5，5）．矩形ABCD的边AB在x轴正半轴上，且AB=1，边AD，BC与抛物线分别交于点M，N．当...

问题详情：

l交于点E（5，5）．矩形ABCD的边AB在x轴正半轴上，且AB=1，边AD，BC与抛物线分别交于点M，N．当矩形ABCD沿x轴正方向平移，点M，N位于对称轴l的同侧时，连接MN，此时，四边形ABNM的面积记为S；点M，N位于对称轴l的两侧时，连接EM，EN，此时五边形ABNEM的面积记为S．将点A与点O重合的位置作为矩形ABCD平移的起点，设矩形ABCD平移的长度为t（0≤t≤5）

（1）求出这条抛物线的表达式；

（2）当t=0时，求S△OBN的值；

（3）当矩形ABCD沿着x轴的正方向平移时，求S关于t（0＜t≤5）的函数表达式，并求出t为何值时S有最大值，最大值是多少？

【回答】

【分析】（1）根据点E、F的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；

（2）找出当t=0时，点B、N的坐标，进而可得出OB、BN的长度，再根据三角形的面积公式可求出S△OBN的值；

（3）分0＜t≤4和4＜t≤5两种情况考虑：①当0＜t≤4时（图1），找出点A、B、M、N的坐标，进而可得出AM、BN的长度，利用梯形的面积公式即可找出S关于t的函数关系式，再利用二次函数的*质即可求出S的最大值；②当4＜t≤5时，找出点A、B、M、N的坐标，进而可得出AM、BN的长度，将五边形分成两个梯形，利用梯形的面积公式即可找出S关于t的函数关系式，再利用二次函数的*质即可求出S的最大值．将①②中的S的最大值进行比较，即可得出结论．

【解答】解：（1）将E（5，5）、F（10，0）代入y=ax2+bx，

，解得：，

∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x．

（2）当t=0时，点B的坐标为（1，0），点N的坐标为（1，），

∴BN=，OB=1，

∴S△OBN=BN•OB=．

（3）①当0＜t≤4时（图1），点A的坐标为（t，0），点B的坐标为（t+1，0），

∴点M的坐标为（t，﹣t2+2t），点N的坐标为（t+1，﹣（t+1）2+2（t+1）），

∴AM=﹣t2+2t，BN=﹣（t+1）2+2（t+1），

∴S=（AM+BN）•AB=×1×[﹣t2+2t﹣（t+1）2+2（t+1）]，

=﹣t2+t+，

=﹣（t﹣）2+，

∵﹣＜0，

∴当t=4时，S取最大值，最大值为；

②当4＜t≤5时（图2），点A的坐标为（t，0），点B的坐标为（t+1，0），

∴点M的坐标为（t，﹣t2+2t），点N的坐标为（t+1，﹣（t+1）2+2（t+1）），

∴AM=﹣t2+2t，BN=﹣（t+1）2+2（t+1），

∴S=（5﹣t）（﹣t2+2t+5）+（t﹣4）[5﹣（t+1）2+2（t+1）]，

=（t3﹣3t2+5t+25）+（﹣t3+t2+t﹣），

=﹣t2+t﹣，

=﹣（t﹣）2+，

∵﹣＜0，

∴当t=时，S取最大值，最大值为．

∵=＜，

∴当t=时，S有最大值，最大值是．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的*质、梯形的面积以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数关系式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当t=0时点N的坐标；（3）分0＜t≤4和4＜t≤5两种情况找出S关于t的函数关系式．

知识点：各地中考

题型：综合题