如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝Ax2＋2Ax＋C的图象与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A...

问题详情：

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝Ax2＋2Ax＋C的图象与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A、B两点，点B的坐标为(－3，0)．

(1)求二次函数的解析式及顶点D的坐标；

(2)点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1∶2的两部分，求出此时点M的坐标；

(3)点P是第二象限内抛物线上的一动点，当点P在何处时△CPB的面积最大？求出最大面积？并求出此时点P的坐标．

【回答】

解：(1)根据题意将B(－3，0)，C(0，3)代入抛物线解析式，

得，解得，

∴二次函数的解析式为y＝－x2－2x＋3，

将其化为顶点式为y＝－(x＋1)2＋4，

∴顶点D的坐标为(－1，4)；

（2）如解图①，连接OD、AD、AD与y轴交于点F，

第4题解图①

S△OBD＝×3×4＝6，S四边形ACDB＝S△ABD＋S△CDF＋S△ACF＝×4×4＋×1×1＋×1×1＋×1×1＝9，

因此直线OM必过线段BD，

由B(－3，0)，D(－1，4)得线段BD的解析式为y＝2x＋6，

设直线OM与线段BD交于点E，

则△OBE的面积可以为3或6.

①当S△OBE＝3时，×3×yE＝3，解得yE＝2，将y＝2代入y＝2x＋6中，得x＝－2，

∴E点坐标(－2，2)．

则直线OE的解析式为y＝－x.

设M点坐标为(x，－x)，联立抛物线的解析式可得－x＝－x2－2x＋3，

解得x1＝，x2＝(舍去)．

∴点M(，)；

②当S△OBE＝6时，×3×yE＝6，解得yE＝4，

将y＝4代入y＝2x＋6中得x＝－1，此时点E、M、D三点重合．

∴点M坐标为(－1，4)；

综上所述，点M的坐标为(，)，(－1，4)．

（3）如解图②，连接OP，设P点的坐标为(M，－M2－2M＋3)，

第4题解图②

∵点P在抛物线上，

∴S△CPB＝S△CPO＋S△OPB－S△COB

＝OC·(－M)＋OB·(－M2－2M＋3)－OC·OB

＝－M＋(－M2－2M＋3)－

＝－(M2＋3M)

＝－(M＋)2＋.

∵－3＜M＜0，

∴当M＝－时，(－M2－2M＋3)＝，△CPB的面积有最大值.

∴当点P的坐标为(－，)时，△CPB的面积有最大值，且最大值为.

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题