在平面直角坐标系中,直线l:y=x＋3与x轴交于点A,抛物线C:y=x2＋mx＋n的图象经过点A.(Ⅰ)当m=...

问题详情：

在平面直角坐标系中,直线l:y=x＋3与x轴交于点A,抛物线C:y=x2＋mx＋n的图象经过点A. (Ⅰ)当m=4时,求n的值; (Ⅱ)设m=－2,当－3≤x≤0时,求二次函数y=x2＋mx＋n的最小值; (Ⅲ)当－3≤x≤0时,若二次函数y=x2＋mx＋n时的最小值为－4,求m、n的值.

【回答】

解:(Ⅰ)当y=x＋3=0时,x=－3, ∴点A的坐标为(－3,0). ∵二次函数y=x2＋mx＋n的图象经过点A, ∴0=9－3m＋n,即n=3m－9, ∴当m=4时,n=3m－9=3; (Ⅱ)抛物线的对称轴为直线x=－, 当m=－2时,对称轴为x=1,n=3m－9=－15, ∴当－3≤x≤0时,y随x的增大而减小, ∴当x=0时,二次函数y=x2＋mx＋n取得最小值,最小值为－15. (Ⅲ)①当对称轴－≤－3,即m≥6时, 在－3≤x≤0范围内,y随x的增大而增大,当x=－3时,y取得最小值0,不符合题意; ②当－3＜－＜0,即0＜m＜6时,在－3≤x≤0范围内,x=－时,y取得最小值,

∵二次函数最小值为－4, ∴, 解得:或(舍去), ∴m=2,n=－3; ③当－≥0,即m≤0时,在－3≤x≤0范围内,y随x的增大而减小,当x=0时,y取最小值,即n=－4,

∴, 解得:(舍去). 综上所述:m=2,n=－3.

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题