设函数.若曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）.（1）求函数的单调区间；（2）若关于的不等式在上恒成立，...
问题详情：
设函数
.若曲线
在点
处的切线方程为
（
为自然对数的底数）.
（1）求函数
的单调区间；
（2）若关于
的不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围.
【回答】
（1）函数
定义域为
.
得
，
，即
所以
.所以
， 
.
函数
的单调递减区间是
，单调递增区间是
.…………6分
（2）由题得函数
对任意
恒成立，
即不等式
对任意
恒成立.
又
，当
即
恒成立时，
函数
递减，设
，则
，所以
，即
，符合题意；……………………8分
当
时， 
恒成立，此时函数
单调递增.于是不等式
对任意
恒成立，不符合题意；………………10分
当
时，设
，
则
；…………………12分
当
时， 
，此时
单调递增，
，
故当
时，函数
递增.于是当
时, 
成立，不符合题意；………………13分
综上所述，实数
的取值范围为： 
.
知识点：导数及其应用
题型：解答题
