已知函数（其中为自然对数的底数）.（1）若,求函数在区间上的最大值；（2）若,关于的方程有且仅有一个根,求实数...

问题详情：

已知函数（其中为自然对数的底数）.

（1）若,求函数在区间上的最大值；

（2）若,关于的方程有且仅有一个根, 求实数的取值范围；

（3）若对任意,不等式均成立, 求实数的取值范围.

【回答】

试题解析：（1）当时,, 故在上单调递减,上单调递增, 当时,, 当时,, 故在区间上．

（2）当时, 关于的方程为有且仅有一个实根, 则有且仅有一个实根, 设,则,

因此在和上单调递减, 在上单调递增,, 如图所示, 实数的取值范围是．

（3）不妨设,则恒成立．

因此恒成立, 即恒成立,

且恒成立, 因此和均在上单调递增,

设,

则在上上恒成立, 因此在上恒成立因此,而在上单调递减, 因此时,．由在上恒成立, 因此在上恒成立, 因此,设,则．当时,, 因此在内单调递减, 在内单调递增,因此．综上述,．

考点：利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在*及根的个数判断；利用导数研究函数的单调*

知识点：基本初等函数I

题型：解答题