如图9，CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E，连接AC，BE，...
问题详情：
如图9，CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E，连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：
①四边形ACBE是菱形；②∠ACD=∠BAE ③AF：BE=2：3 ④ 
其中正确的结论有________。（填写所有正确结论的序号）
【回答】
①②④
【考点】三角形的面积，全等三角形的判定与*质，线段垂直平分线的*质，平行四边形的*质，相似三角形的判定与*质
【解析】【解答】解：①∵CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，∴AO=BO,∠AOE=∠BOC=90°,BC∥AE，AE=BE，CA=CB， ∴∠OAE=∠OBC， ∴△AOE≌△BOC（ASA）， ∴AE=BC， ∴AE=BE=CA=CB， ∴四边形ACBE是菱形， 故①正确. ②由①四边形ACBE是菱形， ∴AB平分∠CAE， ∴∠CAO=∠BAE， 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BA∥CD， ∴∠CAO=∠ACD， ∴∠ACD=∠BAE. 故②正确. ③∵CE垂直平分线AB， ∴O为AB中点， 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BA∥CD，AO= 
AB= 
CD， ∴△AFO∽△CFD， ∴ 
= 
， ∴AF:AC=1:3, ∵AC=BE， ∴AF:BE=1:3, 故③错误. ④∵ 
·CD·OC, 由③知AF:AC=1:3, ∴ 
, ∵ 
= 
× 
CD·OC= 
, ∴ 
= 
+ 
= 
= 
, ∴ 
故④正确. 故*为：①②④. 【分析】①根据平行四边形和垂直平分线的*质得AO=BO,∠AOE=∠BOC=90°,BC∥AE，AE=BE，CA=CB，根据ASA得△AOE≌△BOC，由全等三角形*质得AE=CB，根据四边相等的四边形是菱形得出①正确. ②由菱形*质得∠CAO=∠BAE，根据平行四边形的*质得BA∥CD，再由平行线的*质得∠CAO=∠ACD，等量代换得∠ACD=∠BAE；故②正确. ③根据平行四边形和垂直平分线的*质得BA∥CD，AO= 
AB= 
CD，从而得△AFO∽△CFD，由相似三角形*质得 
= 
，从而得出AF:AC=1:3,即AF:BE=1:3,故③错误. ④由三角形面积公式得 
·CD·OC,从③知AF:AC=1:3,所以
= 
+ 
= 
= 
,从而得出 
故④正确.
知识点：各地中考
题型：填空题
