如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．（1）*：点在平面内；（2）若，，，求二面角的正弦值．

问题详情：

如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．

（1）*：点在平面内；

（2）若，，，求二面角的正弦值．

【回答】

（1）*见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）连接、，*出四边形为平行四边形，进而可*得点在平面内；

（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出二面角的余弦值，进而可求得二面角的正弦值.

【详解】（1）在棱上取点，使得，连接、、、，

在长方体中，且，且，

，，且，

所以，四边形为平行四边形，则且，

同理可*四边形为平行四边形，且，

且，则四边形为平行四边形，

因此，点在平面内；

（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，

，，，，

设平面的法向量为，

由，得取，得，则，

设平面的法向量为，

由，得，取，得，，则，

，

设二面角的平面角为，则，.

因此，二面角的正弦值为.

【点睛】本题考查点在平面的*，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题