如图,在△ABC中,∠BAC=90°,点E在BC边上,且CA=CE,过A,C,E三点的⊙O交AB于另一点F,作...
问题详情:
如图,在△ABC中,∠BAC=90°,点E在BC边上,且CA=CE,过A,C,E三点的⊙O交AB于另一点F,作直径AD,连结DE并延长交AB于点G,连结CD,CF.
(1)求*:四边形DCFG是平行四边形.
(2)当BE=4,CD=AB时,求⊙O的直径长.
【回答】
【分析】(1)连接AE,由∠BAC=90°,得到CF是⊙O的直径,根据圆周角定理得到∠AED=90°,即GD⊥AE,推出CF∥DG,推出AB∥CD,于是得到结论;
(2)设CD=3x,AB=8x,得到CD=FG=3x,于是得到AF=CD=3x,求得BG=8x﹣3x﹣3x=2x,求得BC=6+4=10,根据勾股定理得到AB==8=8x,求得x=1,在Rt△ACF中,根据勾股定理即可得到结论.
【解答】(1)*:连接AE,
∵∠BAC=90°,
∴CF是⊙O的直径,
∵AC=EC,
∴CF⊥AE,
∵AD是⊙O的直径,
∴∠AED=90°,
即GD⊥AE,
∴CF∥DG,
∵AD是⊙O的直径,
∴∠ACD=90°,
∴∠ACD+∠BAC=180°,
∴AB∥CD,
∴四边形DCFG是平行四边形;
(2)解:由CD=AB,
设CD=3x,AB=8x,
∴CD=FG=3x,
∵∠AOF=∠COD,
∴AF=CD=3x,
∴BG=8x﹣3x﹣3x=2x,
∵GE∥CF,
∴,
∵BE=4,
∴AC=CE=6,
∴BC=6+4=10,
∴AB==8=8x,
∴x=1,
在Rt△ACF中,AF=10,AC=6,
∴CF==3,
即⊙O的直径长为3.
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心,平行四边形的判定和*质,勾股定理,圆周角定理,熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键.
知识点:各地中考
题型:解答题