已知函数．（1）如果a＞0，函数在区间上存在极值，求实数a的取值范围；（2）当x≥1时，不等式恒成立，求实数k...
问题详情：
已知函数
．
（1）如果a＞0，函数在区间
上存在极值，求实数a的取值范围；
（2）当x≥1时，不等式
恒成立，求实数k的取值范围．
【回答】
考点：
实际问题中导数的意义；函数在某点取得极值的条件．
专题：
压轴题；导数的综合应用．
分析：
（1）因为
，x＞0，x＞0，则
，利用函数的单调*和函数f（x）在区间（a，a+
）（其中a＞0）上存在极值，能求出实数a的取值范围．
（2）不等式
，即为
，构造函数
，利用导数知识能求出实数k的取值范围．
解答：
解：（1）因为
，x＞0，则
，（1分）
当0＜x＜1时，f'（x）＞0；
当x＞1时，f'（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，所以函数f（x）在x=1处取得极大值．
因为函数f（x）在区间（a，a+
）（其中a＞0）上存在极值，
所以
解得
．
（2）不等式
，即为
，记
，
所以
=
令h（x）=x﹣lnx，
则
，∵x≥1，∴h'（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴[h（x）]min=h（1）=1＞0，
从而g'（x）＞0，
故g（x）在[1，+∞）上也单调递增，所以[g（x）]min=g（1）=2，
所以k≤2．
点评：
本题考查极值的应用，应用满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意构造法和分类讨论法的合理运用．
知识点：导数及其应用
题型：解答题
