如图，直三棱柱ABC―A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝1，CB＝，侧棱AA1＝1，侧面AA1B1B的两...
问题详情：
如图，直三棱柱ABC―A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝1，CB＝
，侧棱AA1＝1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M.
（Ⅰ）求*CD⊥平面BDM；
（Ⅱ）求面B1BD与面CBD所成二面角的大小.
【回答】
本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.
解法一：（Ⅰ）如图，连结CAACCM，则CA1=
.
∵CB=CA1=
,
∴△CBA1为等腰三角形，
又知D为其底边A1B的中点，
∴CD⊥A1B.
∵A1C1=1,C1B1=
,
∴A1B1=
，
又BB1＝1，∴A1B＝2.
∵△A1CB为直角三角形，
D为A1B的中点，
∴CD=
A1B=1,CD=CC1.
又DM=
AC1=
,DM=C1M,
∴△CDM≌△CC1M,
∠CDM=∠CC1M=90°,即CD⊥DM.
因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM.
（Ⅱ）设F、G分别为BC、BD的中点，连结B1G、FG、B1F，则
FG∥CD，FG=CD.
∴FG=,FG⊥BD.
由侧面矩形BB1A1A的对角线的交点为D，
知BD=B1D=
A1B=1，
所以△BB1D是边长为1的正三角形，
于是B1G⊥BD,B1G=
∴∠B1GF是所求二面角的平面角.
又B1F2=B1B2+BF2=1+（
）2=
∴cosB1GF=
=
.
即所求二面角的大小为π－arccos
解法二：如图，以C为原点建立坐标系.
（Ⅱ）B（
,0,0）,B1（
,1,0）,A1（0,1,1）,D（
,,）,M（,1,0）,
=（,,）, 
=（,－1,－1）,
=（0, ,－）,
则・=0,
・
=0,
∴CD⊥A1B,CD⊥DM.
因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，
所以CD⊥平面BDM.
（Ⅱ）设BD中点为G，连结B1G，则G（
,
,
）,
=（－,,）, 
=（－
,－
,）,
∴
・
=0.∴BD⊥B1G.
又CD⊥BD，
∴与
的夹角θ等于所求二面角的平面角.
cosθ=
=－
.
所以所求二面角的大小等于π－arccos
.
知识点：点 直线 平面之间的位置
题型：计算题
