如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝.(1)*：BC1...

问题详情：

如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，

AA1＝AC＝CB＝.

(1)*：BC1∥平面A1CD；

(2)求二面角D－A1C－E的正弦值.

【回答】

解：(1)*　连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点.

又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.

因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，

所以BC1∥平面A1CD.

(2)由AC＝CB＝AB得，AC⊥BC.

以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.

设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，

＝(1,1,0)，＝(0,2,1)，＝(2,0,2).

设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，

则即可取n＝(1，－1，－1).

同理，设m是平面A1CE的法向量，

则可取m＝(2,1，－2).

从而cos〈n，m〉＝＝，故sin〈n，m〉＝.

即二面角D－A1C－E的正弦值为.

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题