如图，直三棱柱ABC－A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别...

问题详情：

如图，直三棱柱ABC－A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是A1B1，A1A的中点，

(1)求的模；

(2)求cos〈，〉的值；

(3)求*：A1B⊥C1M；

(4)求CB1与平面A1ABB1所成的角的余弦值.

【回答】

如图，建立空间直角坐标系Cxyz.

(1)依题意得B(0,1,0)、N(1,0,1)，

∴||＝＝.

(2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)

∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，∴·＝3，

||＝，||＝，∴cos〈，〉

＝＝.

(3)依题意，得C1(0,0,2)、M(，，2)，＝(－1,1，－2)，＝(，，0)，∴·＝－＋＋0＝0，∴⊥，∴A1B⊥C1M.

(4)方法一：取AB中点O，连结CO，B1O，则CO⊥平面A1ABB1，

∴∠CB1O是CB1与平面A1ABB1所成的角.

∵CO＝AB＝，B1C＝＝，

∴B1O＝＝＝＝，

∴cos∠CB1O＝＝×＝.

即CB1与平面A1ABB1所成角的余弦值是.

方法二：设平面A1ABB1的一个法向量是n＝(x，y，z)，

∵＝(1，－1,0)，＝(0,0,2)，

解得，取x＝y＝1，则n＝(1,1,0)，

直线CB1的方向向量是n1＝(0,1,2)，

∴cos〈n，n1〉＝＝＝，

∴sin〈n，n1〉＝＝，

∴直线CB1与平面A1ABB1所成角的余弦值是.

知识点：空间中的向量与立体几何

题型：解答题