如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，AB1与A1B相交于点D，E是CC1上的点，且...

问题详情：

如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，AB1与A1B相交于点D，E是CC1上的点，且DE∥平面ABC，BC=1，BB1=2．

（Ⅰ）*：B1E⊥平面ABE

（Ⅱ）若异面直线AB和A1C1所成角的正切值为，求二面角A﹣B1E﹣A1的余弦值．

【回答】

【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．

【分析】（Ⅰ）推导出B1E⊥AB，BE⊥B1E，由此能*B1E⊥平面ABE．

（Ⅱ）由AC∥A1C1，知∠BAC（或∠BAC的补角）是异面直线AB和A1C1所成角，以B为原点，BC为x轴，BB1为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣B1E﹣A1的余弦值．

【解答】*：（Ⅰ）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，B1E⊂面BB1C1C，

∴B1E⊥AB，

∵AB1与A1B相交于点D，∴D是AB1的中点，

取BB1中点O，连结DO，EO，则DO∥平面ABC，

∵DE∥平面ABC，DE∩DO=D，

∴平面DEO∥平面ABC，

∴OE∥BC，∴E是CC1的中点，

∴BE=B1E==，

∴BE2+B1E2=BB12，∴BE⊥B1E，

∵BE∩AB=B，∴B1E⊥平面ABE．

解：（Ⅱ）∵AC∥A1C1，

∴∠BAC（或∠BAC的补角）是异面直线AB和A1C1所成角，

∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，

∴AB⊥BC，∵异面直线AB和A1C1所成角的正切值为，

∴tan=，

∵BC=1，BB1=2，∴AB=，

以B为原点，BC为x轴，BB1为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，

E（1，1，0），A（0，0，），B1（0，2，0），A1（0，2，），

=（﹣1，﹣1，），=（﹣1，1，0），=（﹣1，1，），

设平面AB1E的法向量=（x，y，z），

则，取x=，得=（，2），

设平面A1B1E的法向量=（a，b，c），

则，取a=1，得=（1，1，0），

设二面角A﹣B1E﹣A1的平面角为θ，

则cosθ===．

∴二面角A﹣B1E﹣A1的余弦值为．

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题