如图，点C为△ABD外接圆上的一动点（点C不在上，且不与点B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°．（1）求*...

问题详情：

如图，点C为△ABD外接圆上的一动点（点C不在上，且不与点B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°．

（1）求*：BD是该外接圆的直径；

（2）连结CD，求*：AC=BC+CD；

（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究,三者之间满足的等量关系，并*你的结论．

【回答】

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DM2＝BM2＋2MA2,理由详见解析.

【详解】

试题分析：（1）易*△ABD为等腰直角三角形，即可判定BD是该外接圆的直径；（2）如图所示作CA⊥AE，延长CB交AE于点E，再*△ACE为等腰直角三角形，可得AC＝AE，再由勾股定理即可得；利用SAS判定△ABE≌△ADC，可得BE＝DC，所以CE＝BE＋BC，所以CE＝DC＋BC＝；（3）延长MB交圆于点E，连结AE、DE，因∠BEA=∠ACB=∠BMA=45°，在△MAE中有MA=AE，∠MAE=90°，由勾股定理可得，再*∠BED=90°，在Rt△MED中，有，所以.

试题解析：（1）∵弧AB＝弧AB，

∴∠ADB＝∠ACB,

又∵∠ACB＝∠ABD＝45°,

∴∠ABD＝∠ADB＝45°,

∴∠BAD＝90°,

∴△ABD为等腰直角三角形,

∴BD是该外接圆的直径,

（2）如图所示作CA⊥AE，延长CB交AE于点E

∵∠ACB＝45°，CA⊥AE,

∴△ACE为等腰直角三角形,

∴AC＝AE,

由勾股定理可知CE2＝AC2＋AE2＝2AC2,

∴,

由（1）可知△ABD为等腰直角三角形,

∴AB＝AD,∠BAD＝90°,

又∵∠EAC＝90°,

∴∠EAB＋∠BAC＝∠DAC＋∠BAC,

∴∠EAB＝∠DAC,

∴在△ABE和△ADC中,

∴△ABE≌△ADC（SAS）,

∴BE＝DC ,

∴CE＝BE＋BC＝DC＋BC＝,

（3）DM2＝BM2＋2MA2,

延长MB交圆于点E，连结AE、DE,

∵∠BEA=∠ACB=∠BMA=45°,

∴在△MAE中有MA=AE，∠MAE=90°,

∴,

又∵AC=MA=AE,

∴,

又∵,

∴,

即,

∴DE=BC=MB,

∵BD为直径,

∴∠BED=90°,

在RT△MED中，有,

∴.

考点：圆的综合题.

知识点：三角形全等的判定

题型：解答题