在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC=ED．（1）如图1，...

问题详情：

在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC=ED．

（1）如图1，若点E是AB的中点，求*：BD=AE；

（2）如图2，若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD=AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数理关系，若成立，请给予*．

【回答】

（1）*：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，

∵点E是AB的中点，

∴CE平分∠ACB，AE=BE，

∴∠BCE=30°，

∵ED=EC，

∴∠D=∠BCE=30°．

∵∠ABC=∠D+∠BED，

∴∠BED=30°，

∴∠D=∠BED，

∴BD=BE．

∴AE=DB．

（2）解：AE=DB；

理由：过点E作EF∥BC交AC于点F．如图2所示：

∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，

∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，

即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，

∴△AEF是等边三角形．

∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，

∵DE=EC，

∴∠D=∠ECD，

∴∠BED=∠ECF．

在△DEB和△ECF中，

，

∴△DEB≌△ECF（AAS），

∴DB=EF，

∴AE=BD．

知识点：三角形全等的判定

题型：解答题